绵阳三诊数学答案

绵阳市高中2022级第三次诊断性考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

BABC   DACC

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．

9．ACD            10．AB            11．AB

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12．−8            13．0.42            14．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解：（1）设数列公比为，

由，，成等差数列得：，    3分

∴，即：，可得，    5分

数列{an}的通项公式为：；    6分

（2）

    7分

    8分

    9分

    11分

（或）．    13分

16．解：（1），令，    1分

∵函数在处取得极值．

∴，则，    2分

，    3分

令，可得，或，    4分

，，单调递增；

，，单调递减；    5分

，，单调递增，    6分

∴的极小值为；    7分

（2）由（1）可知在[1，2]上单调递减，    8分

∴，，    9分

∴，    10分

∴    13分

∴当，．    15分

17．解：（1）梯形中DA，CB，EF不平行，延长D1A1，CB，EF，

记，，

∵，    2分

∴△MFD1≌△NFC，则FM=FN，即M，N重合，    3分

∴，所以A1，B，D1，C四点共面；    4分

（2）∵平面A1EFD⊥平面BEFC，面面，，

∴D1F⊥面，则D1F⊥面CF，    5分

易知FE，FC，FD1两两垂直，不妨以F为坐标原点，以FE，FC，FD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．    6分

不妨设A1E=BE=a，则，，，C(0，a+1，0)，D1(0，0，a+1)，

则，，    7分

由可知，，

可解，    8分

∴；    9分

（3）∵平面面，记面面，在平面EFP内过点E作直线m⊥l，

∴，    10分

又∵面，∴，且面，面，

∴面，∴，

在等腰直角三角形△D1FC中FP为中线，即点P为CD1的中点；    11分

由第（2）问可知，，C(0，3，0)，

则，    12分

不妨设平面BFP的法向量为n=(x，y，z)，取平面BEFC的法向量为m=(0，0，1)平面BFP与平面BEFC所成角为，

即，不妨取，     13分

则，    14分

∴平面BFP与平面BEFC夹角的余弦值为．    15分

18．解：（1），则即a=1，    1分

又，解得，    2分

∴双曲线C的方程为．    3分

（2）方法一：设，则由，

可得：，    4分

又点T在双曲线C上，则，

化简整理得：，    5分

又，均在双曲线C上，则，，

代入上式整理得：……①，    6分

易知直线l1的斜率为0时，不符合题意，

设直线l1方程为，则，

代入①得：……②

联立，得：，    7分

由韦达定理可得：，    8分

代入②式得：，    9分

解得：，即，此时，则直线l1与双曲线C右支有两个交点，

即直线l1方程为；    10分

方法二：易知直线l1的斜率为0时，不符合题意，设直线l1方程为，，MN的中点为P(x0，y0)，

联立，得代入①得：，    4分

由韦达定理可得：，    5分

∴，，    6分

则由=

    ∴，    7分

代入双曲线C的方程可得：，

∴，    8分

∴，或，    9分

当时，直线l1与双曲线的渐进性平行，不符合题意，

∴直线l1方程为；    10分

（3）设直线l1方程为，直线l2方程为，

由，则，即，    11分

∴，，则(当且仅当时取等号)

设，，，，

则，

同理可得：，    12分

故，

同理：，

∴……③    13分

联立得：，

由韦达定理可得：，同理可得：，代入③得：

                =

                =    14分

令，则，    15分

令，则在区间[6，10)上单调递增，

∴，    16分

故当，时，的最小值为．    17分

方法二：（当且仅当，时，等号成立），    16分

∴的最小值为．    17分

19．解：（1）当n = 3时，巴士从(0，0)行驶到(2，1)时，共有种行驶路线；

从(2，1)行驶到(3，3)时，共有种行驶路线；    2分

因此经过(2，1)的行驶路线共有种；    4分

（2）（i）方法一：

    除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过AB对角线上的格点．

    ∴巴士第一步必然到达(1，0)或(0，1)格点，且必然从(4，3)或(3，4)到达终点．在这个过程中既不会穿过AB对角线，也不会到达对角线上的格点．    5分

    考虑对称性，不妨先计算从格点(1，0)到达格点(4，3)，且不经过(1，0)与(4，3)连线上方格点的路线总数．    6分

    假设向右行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含3个1与3个−1的序列a1，a2，…，a6．行驶路线不经过(1，0)与(4，3)连线上方格点，等价于对任意前k段，向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即．

根据题意，满足条件的路线总数应为种．    8分

从而从格点(0，1)到达格点(3，4)，且不经过(0，1)与(3，4)连线上方格点的路线总数也为5种．

因此游客游览了7个景点的路线总数为10种．    9分

方法二：当n = 4时，巴士总共有种行驶路线，    5分

除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过AB对角线上的格点，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，

设经过格点C(1，1)，D(2，2)，E(3，3)分别为事件C，D，E，

则经过格点C的路线总数为种，

经过格点D的路线总数为种，

经过格点E的路线总数为种，

经过格点C与格点D的路线总数为种，

同理种，种，

经过格点C，D，E的路线总数为种，    7分

因此经过格点C或格点D或格点E的路线总数为：

，    8分

用韦恩图可如上图表示，

故游客恰好游览了7个景点的路线总数为种；    9分

（ii）要保证游客能够分别浏览两个景区至少1个景点，即行驶路线必须穿过对角线AB．不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为R(n)，    假设向右行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含n个1与n个−1的序列a1，a2，…，a2n．行驶路线不经过AB左上方的格点，等价于对任意前k段，向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即，    10分

由题意    11分

    12分

∴行驶路线不经过AB右下方格点的种数也应为，

∴行驶路线穿过对角线AB的种数为，

故．

只需证：，n≥5．    13分

当n = 5时，，上式显然成立．

当n≥6时，令，

显然，．    14分

且，

∵ ()，当且仅当时取等，

不难知，故，    15分

所以，    16分

即，

综上所述：．    17分

（注：也可以假设，对整理后的一元二次不等式进行验证）