来学学新东西？数列！

第1讲　数列的概念及其表示

1.数列的有关概念

2.数列的表示法

3.an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则

an＝

常用结论

1．数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．

2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则

【小题自测】

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)

(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．(　　)

(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．(　　)

(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　)

(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．(　　)

(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×

2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析：选D.a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.

3．(教材改编)数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是(　　)

A．an＝    B．an＝

C．an＝    D．an＝

解析：选A.数列为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为an＝.

4．在数列－1，0，，，…，中，0.08是它的第________项．

解析：依题意得＝(n∈N*)，解得n＝10或n＝(舍去)．

答案：10

5．(忽视对n＝1的验证致误)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝________．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋1＋2(n－1)2－1＝－4n＋2，a1＝－1不适合上式，所以an＝

答案：

考点一　由an与Sn的关系求an(自主练透)

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．

解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.所以an＝

答案：

2．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1.

当n≥2时，Sn＝2an＋1，　①

Sn－1＝2an－1＋1，　②

①－②，得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是首项a1＝－1，q＝2的等比数列，所以an＝a1·qn－1＝－2n－1.

答案：－2n－1

3．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．

解析：当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，

因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，　①

故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，　②

由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，

所以an＝(n≥2)．

显然当n＝1时不满足上式，

所以an＝

答案：

(1)已知Sn求an的三个步骤

①先利用a1＝S1求出a1；

②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．

(2)Sn与an关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．

①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；

②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

考点二　由递推关系求通项公式(师生共研)

分别求出满足下列条件的数列的通项公式．

(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；

(2)a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)；

(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．

【解】　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，

所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.

(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，

得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2，

所以数列的通项公式为an＝2.

(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.

由递推关系求数列通项公式的常用方法

【对点训练】

1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，则an＝__________．

解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.

答案：2n－1

2．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________．

解析：因为an＋1＝an，a1＝2，所以an≠0，

所以＝，

所以当n≥2时，an＝···…···a1＝···…··2＝.a1＝2也符合上式，则an＝.

答案：

考点三　数列的函数特征(多维探究)

考向1　数列的单调性

已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)

A．(3，＋∞)   B．(2，＋∞)   C．(1，＋∞)   D．(0，＋∞)

【解析】　因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．

【答案】　D

解决数列单调性问题的三种方法

(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；

(2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断；

(3)结合相应函数的图象直观判断．

考向2　数列的周期性

(2022·广元市联考)已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2 022 项的和为(　　)

A．0   B．1   C．－5   D．－1

【解析】　因为bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，

所以b3＝b2－b1＝－3，

b4＝b3－b2＝－1，

b5＝b4－b3＝2，

b6＝b5－b4＝3，

b7＝b6－b5＝1，

…

所以{bn}是周期为6的周期数列，

且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.

所以S2 022＝S337×6＝0.

【答案】　A

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

【对点训练】

1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 022的值为(　　)

A．2   B．1   C.   D.

解析：选C.因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，

由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，

由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，

由a3＝2，a4＝1，得a5＝，

由a4＝1，a5＝，得a6＝，

由a5＝，a6＝，得a7＝1，

由a6＝，a7＝1，得a8＝2，

由此推理可得数列{an}是周期为6的数列，

所以a2 022＝a6＝.

2．设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________．

解析：∀n∈N*，an＋1>an，则数列{an}是递增的；∀n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0即可．所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式为an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一)．

答案：n－6(n∈N*)(答案不唯一)

[A级　基础练]

1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是(　　)

A．an＝n2－(n－1)    B．an＝n2－1

C．an＝    D．an＝

解析：选C.观察数列1，3，6，10，…可以发现

第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝.

所以an＝.

2．已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析：选A.因为数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.

3．(2022·甘肃省高考诊断考试)数列{an}的前n项和为Sn，若点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，则a2 021＝(　　)

A．2 021   B．4 041   C．4 042   D．4 043

解析：选D.由题意可知Sn＝n2＋2n，a2 021＝S2 021－S2 020＝(2 021－2 020)×(2 021＋2 020)＋2×(2 021－2 020)＝4 043.

4．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

解析：选B.“|an＋1|>an”⇔an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．

5．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝(　　)

A．5   B.   C.   D.

解析：选B.因为an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，

所以a1＝－a2＝－2，

所以S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)＝10×＋a1＝5＋－2＝.

6．已知数列，，，，，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为________．

解析：由数列的前3项的规律可知解得故实数对(m，n)为.

答案：

7．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________．

解析：由题意知a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，所以an＝(n≥2)，所以a3＋a5＝＋＝.

答案：

8．已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第__________项．

解析：因为an＝，所以数列{an}的最小项必为an＜0，即＜0，3n－16＜0，从而n＜.又n∈N*，所以当n＝5时，an的值最小．

答案：5

9．已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)．

(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；

(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.

解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2.

当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝

(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，

又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．

(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，

由于a1不适合此式，所以an＝

10．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3(n∈N*)．

(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；

(2)证明：＝4.

解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.

(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.

[B级　综合练]

11．(2022·石家庄市教学质量检测)已知数列{an}的通项公式为an＝nsin ，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(　　)

A．1 011    B．－

C.    D．－1 011

解析：选D.因为an＝nsin ，所以a1＝，a2＝，a3＝0，a4＝－2，a5＝－，a6＝0，a7＝，a8＝4，a9＝0，a10＝－5，a11＝－，a12＝0，…，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝－3，设数列{an}的前n项和为Sn，则有S6＝S12－S6＝S18－S12＝…＝－3，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(a1＋a2＋…＋a6)×337－a2 022＝－3×337－0＝－1 011.

12．数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是________．

解析：当n≤4时，an＝2n－1单调递增，因此n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15.

当n≥5时，an＝－n2＋(a－1)n

＝－＋.

因为a5是{an}中的最大值，所以

解得9≤a≤12，所以a的取值范围是[9，12]．

答案：[9，12]

13．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；

S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；

同理得a3＝3，a4＝4.

(2)Sn＝a＋an，①

当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0，

所以an－an－1＝1，

又由(1)知a1＝1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.

14．Sn是数列{an}的前n项和，且an－Sn＝n－n2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝2an－5an，求数列{bn}中最小的项．

解：(1)对任意的n∈N*，由an－Sn＝n－n2，得an＋1－Sn＋1＝(n＋1)－(n＋1)2，两式相减得an＝n，因此数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)由(1)得bn＝2n－5n，

则bn＋1－bn＝[2n＋1－5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5.

当n≤2时，bn＋1－bn<0，

即bn＋1<bn，所以b1>b2>b3；

当n≥3时，bn＋1－bn>0，

即bn＋1>bn，所以b3<b4<b5<…，

所以数列{bn}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.

[C级　提升练]

15．定义：F(x，y)＝yx(x>0，y>0)．已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，若对任意正整数n，都有an≥ak(k∈N*)成立，则ak的值为(　　)

A.   B．2   C.   D.

解析：选C.由题意知ak为{an}的最小值，因为an＝＝(n∈N*)，所以＝·＝，因为2n2－(n＋1)2＝(n－1)2－2，且当n≥3时，(n－1)2－2>0，所以，当n≥3时，an＋1>an；当n<3时，(n－1)2－2<0，所以，当n<3时，an＋1<an，故当n＝3时，数列{an}有最小值，最小值为.

16．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 020项的和为(　　)

A．672   B．673   C．1 347   D．2 020

解析：选C.由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{an}是周期为3的周期数列，一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2，因为2 020＝673×3＋1，

所以数列{an}的前2 020项的和为673×2＋1＝1 347.